#E6E6E6 推薦《數學與哲學》,張景中 作者:吳文成

  我希望多多介紹不同領域的好書給青年學子們,讓學子們接觸更廣博的知識領域,同時在對世界作深入地思考時,亦有所助益。上次我以推薦為名所撰文的好書是《哈利波特的魔法與科學》,它與這本書《數學與哲學》一樣都是該領域裡,深入淺出、誘發多層面思維的科普好書,最適合給高中高年級與大學生作課外讀物。我這個世代的人在大學的時候總會讀一讀存在主義或達達藝術之類的。甚至,我聽說二十世紀初出名的科學家們都有一定程度的哲學訓練,對於笛卡兒或是康德的學說都略知一二,例如提出相對論的愛因斯坦就有深厚的哲學底子,例如量子力學的奠基人海森堡(Werner Heisenberg,1901-1976)也寫下《物理學與哲學》(Physics
and Philosophy:The Revolution in Modern Science,1958)一書,他們在自己領域之外所學習的知識,幫助他們作更全面性的思考,並且不同領域之間的知識激盪,讓他們有更深刻、更具反省意義的世界觀。培養閱讀不同領域之課外讀物的習慣,往往就是觸發學子們想像力與好奇心的起點,讓學子們的視野不至於侷限在單一方面。

  記得我高三學微積分的時候,就為無窮小與瞬時速度的觀念所苦,但是如果我那時候就讀到張景中教授的《數學與哲學》(這本書在那時候還沒有出版,可見現在有幸看到這本書的學子有多幸福),大概就會茅塞頓開,在第三章〈變量.無窮小.量的鬼魂——第二次數學危機與極限概念
〉一系列地談到了「數學怎麼描述運動與變化」、「無窮小量的歷史爭議
」以及「無窮級數與極限」,順便還可以讀到哲學家 Berkeley 的名言「存在即是被感知」。倘若我高三就讀到第四章〈自然數有多少——數學中的「實在無窮」概念〉一定會興奮地睡不著覺,高中一直教導我們無窮大不是一個數字,然而數學家康托在十九世紀結束之前告訴我們:原來無窮大是有層次的,而且不同層次的無窮大還可以比較大小。康托還告訴我們:在數線上,有理數的個數與自然數的個數是一樣多,而且0到1之間的點數目與一條無限長之數線的點數目也是一樣多的。康托揭示了人類智性的一大飛躍,那是數學史上超乎想像的美妙 , 難怪數學史家 Eves 會說:康托的超限數理論是難以形容地令人神往!

  大學的時候,偶然的機會在科學期刊上,我讀到近代物理學裡關於必然性與偶然性的爭議,內容是討論量子力學的機率詮釋與愛因斯坦的名言「上帝不擲骰子」,如果那時候我順便讀到張景中教授這本書(這仍然是假設語氣,這本書是一九九六年所出版)的第九章〈命運決定還是意志自由——必然性與偶然性的數學思考〉,必定也會驚訝,居然在數學領域也可以如此深刻地談論這類議題。在我看來,第九章是最精采的一章。這一章談到了混沌理論——決定性系統的迭代模型——的重要內涵,在決定論與非決定論方面,作者還簡要分析了近代物理學與幾個重要的哲學觀點。作者的洞見是:微觀上偶然性的匯集呈現出宏觀上的必然性,而完全確定的必然性迭代過程,竟然出現由偶然性掌控的隨機特徵。像這樣的章節,對於青年學子的自然觀,以及看待世界的方式有多大的啟發!這類啟發的深刻之處在於:它帶領讀者嘗試去思索,那涉及到自己與世界之間互動關係的課題,包括命運、自我抉擇等等問題在科學、哲學裡的表徵。

  總的來說 ,《數學與哲學》並非是系統性論述數學哲學( philosophy of mathematics)的專書,但是它——在橫向與縱向上——可以說是數學哲學很適切的入門讀物,對於沒有接觸過數學哲學的青年學子們,尤其是如此。在橫向上,這本書簡要而技巧性地切入了數學哲學的重要議題,例如連續性概念(第一章〈「萬物皆數」觀點的破滅與再生〉)、幾何與公理化(第二章〈哪種幾何才是真的〉)、微積分基礎(第三章)、數學對象的本體論爭議(第六章〈數是什麼〉)……等等。在縱向上,它連貫了若干議題的關鍵內涵,包括在不同的議題之間帶出潛無限與實無限的爭議
主要在第一章、第三章、第四章)
、數學基礎問題(主要在第五章〈羅素悖論引起的軒然大波〉、第六章、第七章〈是真的,但又不能證明〉)、數學體系與結構(主要在第二章、第五章、第八章〈數學與結構〉)以及數學證明方法論(主要在第一章、第十章〈舉例子能證明幾何定理嗎〉)的討論等等。這本書雖然就專業性而言,上述的主題只是點到為止,可是這也是此書的優點:較少的專業性,而有更多的教育性與啟發性。對於比較難的主題,例如哥德爾的不完備定理,作者也用了淺顯易懂的方法來介紹,這讓初學的讀者們能夠很快地看出該主題的大致輪廓。

  另外值得一提,這本書也有特殊而引人深思的章節,例如上上一段提到的第九章,以及第十一章〈數學與哲學隨想〉。在細心閱讀下,我們會發現作者想要引入某種辯證思維——也就是兩種對立觀念的總體性與可互援引性,例如作者談到:數學與哲學的互補、演繹與歸納的聯繫、特殊與一般的相涵、分析與綜合的轉用、連續與離散的統一、必然與偶然的協調(從偶然產生必然、從必然產生偶然)、主觀(創造)與客觀的合一(作者認為 , 數學對象存在於 Karl Popper 的世界3: 人類精神產物的客觀知識世界)等等,這些二元關係在歷史上一直是哲學——包括形上學、方法論——領域的重要問題,令人驚訝的是這本書都約略地點到了。我們不需要悉數認同作者的觀點(例如,有些觀點可能無法依循辯證唯物主義的思路),可是這些觀點可以誘發我們作更多的省思,省思那些重要——而可能表面看來是對立——的觀念,也可以開拓我們的知識視野。這種省思不代表全盤接受我們所閱讀的書籍,這種省思不代表我們要馬上確定與論斷自己的想法。想法是可以隨著自己閱讀更多的書本、隨著自己實際的經驗而修改的,然而我們必須給自己更多的機會去接觸不同的觀點或是新視野
,也就是說,我們必須開放自己的經驗,讓自己的想法在不斷的接觸與開放之後更加地成熟、更加地適合自己。這是我最後想說的。
2005/07/15