#CCFFFF 談模型論與形式語言的語義學 > 最近小弟在研究符號邏輯,常看到模型論証明
> 想請教什麼是一個理論的模型?
> 我是想知道有沒有嚴格的定義?


  我們通常談數理邏輯(即你提到的符號邏輯的更廣泛稱呼),依照研究對象或研究進路,有幾個分支,例如:命題演算、謂詞演算,以及模型論、遞歸論、公理集合論與證明論。就後四者而言,它們的內涵都是非常相關的,然而各自偏重的地方不同。證明論試圖建構出數學理論的(可能是相對的)一致性證明,同時也幫助數學形式化方法的改進。而模型論偏重在對於某個數學對象S,與S的結構(語法)或解釋(語義)的關聯。這裡的S可能是某個數集或某組句子等等。

  那什麼是S的模型呢?例如,一組句子的模型,就是這組句子所屬語言的結構,且在這個結構上,該句子被解釋為真。這裡模型論的目的就在於,尋求條件的界定,使得在此條件下,某組句子在結構上解釋為真(所以模型是構造的)。它的特徵是泛代數的(所謂「泛」的意思是包括群論
、域論等等,但是這些都必須涉及形式語句),它會研究到同構、子結構或範疇性的問題。

  如果針對數論與集合論的問題,例如研究一階邏輯所有公式的集合模型,那麼模型論的重要發現有兩個(教科書必定會唸到的),一個是羅文漢—斯科倫定理( Lowenheim-Skolem theorem: 對於任一初階邏輯的命題的集合,如果存在任一使該集合的命題都為真的解釋,那麼也就存在一個解釋,其論域由自然數組成,並且該集合的命題在其中均為真),再延伸出的定理是緊緻性定理( compactness theorem: 如果一組句子的任意有限子集均有一個模型,那麼該組句子有一個模型)。如果模型論運用到群論或域論,則又是另一個領域。如果你是初學者,那麼大概知道意思就可以了,因為公理集合論與遞歸論是比較需要先知道。

> 小弟是在一本書《命題邏輯與布林代數》中
> 有看到作者簡單的定義模型,節錄一段如下:

> 設M表示模型,L表示一形式化的語言系統,那麼當L的每一個式子在
> M中皆得到真解釋時,則稱M是L的模型。在這裡我們用「解釋」這個
> 概念來說明模型,「解釋」是語義學的概念,當然也可以用「可滿足性
> 」這個概念來說明他,由於「解釋」和「可滿足」皆涉及真假概念,故
> 模型乃語義學的,而形式化系統乃語法學的。語法系統是形式化系統,
> 是不具有任何「意義」。若要使形式化系統具有某些意義,便要解釋他
> ,其中最重要的解釋就是讓每一形式系統內的公理成為真命題。語義學
> 原是「解釋理論」之意。模型的功能有很多,例如:後設邏輯的一些基
> 本定理可以在模型的語言中表達,更重要的是,利用模型可以證明形式
> 系統的(相對於模型)一致性、獨立性、及完備性。

> 小弟尚未理解的是「解釋」這個概念,我看邏輯的書提到要解釋一個命
> 題變元P的方法有二:賦予P真假值或者用一個命題代入P。我想請教
> 的是為什麼P只能賦予真假值,不能有第3值嗎?我看証明命題邏輯的
> 獨立性時,不是可以允許P有3個值以上?這時候究竟哪一個算是模型
> ?不知道小弟哪裡理解錯誤了,可否請教指正?

  你節錄的那一段非常好。你點出幾個關鍵的問題,我分別簡要地談一下:一個是「形式語言的語義學」,一個是「滿足」的概念,另一個是「多值邏輯」的問題。對於數理邏輯來說,前兩者是屬於核心的範圍。

  首先,形式語言可以獨立於任何解釋之外而加以規定,例如我們可以「只」決定哪些符號的序列是合乎文法的,哪些則不是——這稱為形式語言的語法學。但是為了讓該符號序列應用於合適的數學對象,並且界定上述符號序列的邏輯結果關係,我們便需要對形式語言提出解釋——這稱為形式語言的語義學。以皮亞諾公設為例(我們想將形式語言應用於自然數集), 我們將把「 0 」解釋為零、把「 + 」解釋為加法函數、把「 . 」解釋為乘法函數,並把「 s 」解釋為後續者函數;如果皮亞諾公設是一致的
,那麼我們將皮亞諾公設解釋為「真」。

  補充一下。我們用某個語言描述另一個語言,前者叫做後設語言,後者叫目標語言,也就是,我們把目標語言解釋「在」後設語言裡,所以後設語言必須更為豐富,像上述的「加法」、「乘法」、「後繼函數」、「
真概念」之類的解釋必須比形式語言更為豐富。

  但是對於一個較複雜的形式系統,其子系統或整個系統的「真」,必須用遞歸的方法來證明。用遞歸方法來解釋真值的過程,就叫做「滿足」
,或者說,當用含有自由變元的公式所構做出的句子,(可能相對於某個模型)來定義語言的真值時,必須用到「滿足」這個概念。於是「真」、「遞歸」、「一致性」等等與複雜的形式系統之間,有不可分割的關係(
所以遞歸論是數理邏輯的重要分支)。

  因為形式符號之界定與賦予解釋的多樣性,所以現代邏輯發展出「非常多」的旁枝,例如命題解釋除了簡單的真或假之外,還可以賦予各式各樣不同的值,或者是既不真也不假(缺值)——這就是多值邏輯。對於邏輯學家來說,他可以只針對有賦值的句子,或只針對指定為真的句子來討論,例如模型論就是這樣,只有解釋為真的組句,與其所在的結構才成為模型。所以一般來說,模型論在語義解釋方面,只討論真解釋,不涉及所謂的「缺值」。

  多值邏輯又是另一個算是廣的範圍,標準的數理邏輯基本上是二值邏輯,但是多值邏輯在這二十年越來越顯得重要(例如該領域的模糊邏輯)
,像這種非基本的邏輯系統大多是屬於應用性或試驗性的。
2005/01/07