#E6E6E6 第二次導讀《從零開始》,談隱喻的零 作者:吳文成

  如果你面前有個大碗,裡面放了七顆蘋果,這個「七」到底是屬於誰
?它不屬於放置蘋果的大碗,它也不屬於任何一顆蘋果,甚至不屬於你最後數到的那顆蘋果,因為你隨時可以調換蘋果的的次序,那麼,這個「七
」到底是屬於誰?聰明的數學家說,這個「七」是包含七個物體(元素)的集合所指涉的對象。但是,如果你吃掉其中一顆蘋果,「七」又跑到哪裡去了呢?如果把蘋果一顆一顆都吃完,那麼碗裡面只剩下零顆蘋果,這個「零」又是指誰呢?聰明的數學家說,這個「零」是不含物體的集合所指涉的對象。然而,數學家這時候也不免會皺一下眉頭,因為「不含物體的集合」是什麼東東啊?「不含物體的集合」就是「空集合」,要讓「零
」存在就必須令「空集合」存在,所以集合論最重要、最基本的公設是:有個集合存在,即空集合,它不包含有任何元素!(請參看我的另一篇文章《從集合論公設「空集合存在」談起》所謂的公設便是,說不出所以然的定理,換句話說,就是沒它不行,可是又沒有什麼道理的道理。

  為什麼不包含任何元素的集合會存在呢?數學家們也感到疑惑,更大條的是,現代數學可以說是建立在空集合之上的。因為空集合存在,零於是存在,而包含一個空集合的集合被視為是1的定義,再來,零與1必須存在,所有的數字才能夠從零與1產生出來。換句話說,整個數學大廈的建築架構是:包含空集合的集合論定義出了零與1等等的自然數(然而,並非是所有數學家皆認同集合論比自然數更為基礎,也就是說,自然數的觀念也可以是不源於集合論),接著自然數與代數算術的結合,發展出了囊括有理數、無理數、實數、複數……的──主要數學分支──數論、幾何學、分析學與應用數學等等。追根溯源,難怪這本書《從零開始——追蹤零的符號與意義》( The Nothing That Is —— A Natural History of Zero )的作者 Robert Kaplan 教授會強調 :「 一如自零衍生而出的數學, 零既包含全部、也包含於全部之內。」(有趣的事情是,集合論裡面說「空集合是任何集合的子集」,或者說「空集合是任何非空集合的真子集」,如果不這樣便會產生矛盾。本書作者並沒有提到這件事。在這裡提醒他,他一定會很樂意加入他的書裡,因為這意味著任何事物與概念都包括空無自身
!正呼應了作者上述那句話的最後一小段:「零也包括於全部內」。)
作者在這本書的第一句話也寫道:「零的形象,看似空無一物;但是如果你洞悉它,就能看透整個世界!」

  按照上面的說法,「零」似乎屬於任何東西,它卻要計算不存在事物的總數,這種深奧之處,使得作者對於「零」有更多超越數學的沉思與觸發──這本書的突出之處,就是那格局之高、所謀之大,涵蓋考古、數學
、物理、文學、詩味與禪解的智性視野。這樣來說吧,對於原本有七顆蘋果的大碗來說,零可以是碗內葡萄的數目,也可以是碗內柳丁的數目,其實任何東西都可以,這麼說來,零不但無所不在,而且無所不是,盡繫於你的悟性與選擇!這讓我們想起佛學思想的精隨「諸法自性皆空」,萬有來自空無,也回歸空無,不生不滅,不垢不淨,不增不減。亦如作者在此書最後一句話所說的:「不存在的無,正是無之所在。」當我們談論無,無不在那裡,無卻正在那裡;無不只是在那裡,它還是自己轉化的任一事物(葡萄、柳丁),也是自我繁衍的相對事物( 1 與 -1、x 與 -x、電子與正子、物質與反物質),當這些事物再度合一,一切還是不在那裡,而回歸於無。也正是如此,「零」超乎了人們的想像,它在歷史上帶給人們各式各樣的理解與感受,有神祇般的喜悅,也有對於惡魔般的恐懼。

  零在早期歷史與思想中的歷程充滿了陰謀、偽裝與誤解,就如同最早[[img src=science/mandala.jpg height=259 width=234 align=left]]將零傳入西方的印度旅者生涯一般。零的形象在古老印度是神祇的象徵,是匯聚創生與毀滅力量於一身的宇宙運行之理,例如在印度教與佛教密宗所使用的象徵性圖案——曼陀羅——像是零與碎形彼此結合的形象,代表修行能量的匯集點。可是在中世紀的西方人眼裡,東方是古老強大的異教中心,零同時也被視為邪惡、黑暗與蠱惑之源,迷信使得虔誠的西方教徒極度憎恨零,同時把零遺棄到神秘學世界。在煉金術裡,零的形狀就像是象徵本體轉化而「吞食自己尾巴的蛇 」的 Ouroboros 圖,類似的圓形在魔法中處處可見。直到十三、十四世紀──零以及阿拉伯數字在歐洲的商[[img src=science/Ouroboros.gif height=159 width=170 align=right]]業貿易獲得成功的運用──之前,零在西方都被當作是隱晦而魅惑人心的「女妖之歌」。在發現新大陸的時代,地圖製作家會用風與蛇填補地圖上的空白角落,並且將未經探勘的海域標記為「妖怪地域」,只有當人們踏進那些未知海域,人類才從啟蒙時代轉進工業革命時代。時代遞變,「零」也繼續變換形象,等待人們發掘潛藏於零的更多秘密。

  如同作者所說的,古印度的智慧閃耀著比西方歷史更亮眼的光芒,當人們發現零可以兼容一切事物的同時,這個一體兩面的零——完美的圓形——就會在我們面前改變文明的方向。無怪乎作者感觸地寫下:「它不僅是一個數字,也常用來比喻絕望與喜悅;它代表空無,卻又具有實質意義;它是萬物肇始的起源,卻又是謎中之謎。……我們在追蹤零的符號與意義曲折複雜的演變歷程時,亦將看到數學隨之發展與應用的過程──數學不僅為人所創造,亦為人類造福。」數學帶動了工程學的蓬勃發展,科技革命同時改變了人類文明的面貌,0與1的數位記號填充了我們熟知的電腦世界,電腦應用又反過來加速工程學的進步,如果我們說工程學致力於導出與解釋零的訊號,這絕非是誇大其詞,因為函數圖形的最大值與最小值都必須依靠斜率為零的計算,尋找「零」變成是工程學裡決定變數適用範圍的手段。可是零在人們滿心期待的時候,也會露出猙獰的面貌,零有時候是衝突的和解者,它有時也是戰爭的發起人
,當代物理學就非常害怕在方程式裡導出「零」,廣義相對論裡的零(除數為零產生了黑洞)讓愛因斯坦搥胸頓足,因為黑洞破壞了宇宙和諧的結構,量子力學裡的零讓眾多的物理學家吃盡苦頭,因為零把量子塑造成無法控制的搗蛋者(例如量測距離為零、體積為零使得電子的能量變成無限大)。在不同的年代、不同的領域中,零有時極其神聖,零有時被視為惡魔,零有時真的存在,零有時只是虛構之物,然而不管「零」要如何被界說,在關鍵的時刻,零總會變換面貌在人類發展的十字路口與我們相遇,零或者阻礙、零或者導引我們,直到它變成不可形容之物。

  已經到了該結尾的時候。這篇文章是我第二次導讀《從零開始》,把我在上一篇導讀的未竟之處給補足。連著四個篇幅的文章,我導讀了《零的故事》(Zero:The Biography of a Dangerous Idea)與《從零開始》,這陣子,我真是三生有幸能夠攬讀這兩本──點線面皆具──的好書,讓我在短短時間內智性大開,宛如遍遊人類與「零」之間各個階段與各種層面的糾纏史(該怎麼說,這兩本書實在是太過驚人,我每讀一次都有新的聯想、新的研究方向)。對我而言,如果沒有這兩本書的「點醒」,我還不知道零與無限之間的關聯竟然是如此密切──從古希臘人對於無窮的恐懼
,到古印度人祭拜的濕婆神,到中世紀歐洲對於空無的排拒,到十七世紀科學革命的「微積分基礎」爭論,再到詩人筆下對於零、無限種種的沉思與抒發──一次就把我腦中關於零與無限之間的脈絡給聯繫起來!「零」不只是阿拉伯數字後面的零,如同一九九六年諾貝爾文學獎得主,女詩人辛波絲卡所說的:「我偏愛自由無拘的零/勝過排列在阿拉伯數字後面的零。」如果我們熱情擁抱零 , 或許還可以體會美國作曲家 Gershwin 所寫的歌詞 :「我一無所有/但是一無所有卻令我感到富有!
2005/07/12