cut #E6E6E6 導讀《皇帝新腦》,彭羅斯


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  我們將進一步看到,一個足夠複雜的數學系統本身也不能決定其數學真理性。一個算法的成立總是必須由外界的手段(例如人們的洞悉力與編碼技巧)建立起來,同樣的,一個數學系統的真理性也是需要由外界(例如更大的數學系統)來確認,我們將在第四章裡談得更多。在涂林提出停機問題的同時 ,丘奇( Church,1903-1995 )於一九三三年將能行可計算性等同於λ可定義性(遞歸性),他因而獨立地證明了:如果足夠複雜的數學系統是一致的,那麼它就是不可判定的,也就是說,沒有一個機械程序能夠判定該數學系統的任一合式公式是否可證──這個論題與涂林的「
停機問題」是等價的,所以我們合稱為丘奇─涂林的「不可判定定理」,它與哥德爾一九三一年提出的「不完備定理」有異曲同工之妙。讓我們慢慢地切入這些後設數學領域的重要意涵,不過我們需要先跳到第四章〈真理、證明與洞察〉。

  從康托(Cantor,1845-1918)的超限集合論與弗雷格( Frege,1848-1925)的數理邏輯開始,數學在十九世紀下半葉展開偉大的進展,但是羅素( Russell,1872-1970 )旋即於一九O二年提出的集合論悖論 ,卻帶來「數學的第三次危機」,希爾伯特十分震驚地說,它會給數學帶來嚴重的災難性後果,塔斯基( Tarski,1902-1983)也稱它是現代邏輯面臨的最困難問題。羅素與懷德海( Whitehead,1861-1947 )作為邏輯主義(主張整個純數學係經由演繹源於邏輯原理)的代表,於一九一O年起為了重構一個相容的數學基礎而提出《數學原理》;希爾伯特作為形式主義(主張數學是按照規定的結構法則所進行的有效操作)的發起人,於一九二O年提出希爾伯特計畫,企圖將數學推理編入到一個足夠廣泛的公理與步驟規則
,這使得我們能夠判定數學系統的一致性、完備性與真理性,可是哥德爾( Godel,1906-1978)於一九三一年從羅素悖論得到靈感,並且運用對角程序(康托與涂林的理論也運用了這個當代最重要的技巧之一)而提出的兩個不完備定理,卻摧毀了希爾伯特的構想。



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  在第三章〈數學與實在〉與第四章的幾個段落裡,彭羅斯介紹了數學裡的非算法範疇,即他所謂的(某一適當意義下的)非遞歸數學,以孟德勒伯洛特集為例,他試圖論證該碎形集合的整體不是遞歸的,它存在著某些微妙的、複雜的的區域是算法所無法企及,類似地,他指出詞語問題的設計不存在有算法解,丟番都算術與鑲嵌問題也是非遞歸數學的一部分。(按照彭羅斯以上的觀點,無法被算法所約束與判定的問題便是他所謂的非遞歸數學,如果繼續推測,涂林的停機問題也是一例,可是涂林自己可能不會認同這種劃分;彭羅斯似乎同時暗示,依賴於某種洞悉與「智慧」而構作、設計的數學模型,也是被包含於非算法與非遞歸的。讀者必須注意,按照彭羅斯的說法會變成,只要是足夠複雜的數學系統都是屬於非遞歸數學,因為它們最後皆是不可判定的,彭羅斯對於非算法與非遞歸的說法似乎過於廣泛與粗略,這裡存在著不協調性,如果繼續推演,顯然會得出整個數學體系也是非算法與非遞歸的結論!)



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2004/11/29