#E6E6E6 《無限探索無限》,談無限與近代物理學的相遇 作者:吳文成

  這不僅僅是一本介紹近代物理的歷史書,它更述說著自古至今,人類企圖面對與掌握「無限」概念的故事。無限的概念不只是愛好空想的思辨家的無聊遊戲,不只是古希臘哲學以來的核心議題,它也與現代數學、自然科學有極密切的關係。從古希臘哲學到近代哲學所持續延伸的重要爭論問題,就包括:物質是無限可分的,還是有最終而不可分割的成分?時間與空間是連續的,還是由離散的單位所構成?宇宙是有起始,還是無起始的,是有界限的,還是無界限的?事物的運動發展是確定而必然的,還是隨機而偶然的?歷史本身是不可重複的,還是永恆回歸的,甚至我們根本是處於無限可能的歷史的其中之一?以當代的眼光來看,這些爭議的源頭大多可以追溯到無限概念,或者是牽涉到科學探索在逼近無限領域所面臨的考驗。很可能我們只是將它們斥為是古老問題,以及無法驗證而不切實際的冥想,可是令人驚異的是,這些問題卻以類似的提問方式進入了現代物理學本身,甚至支配著物理學某些核心觀念的發展。可以這樣說,「無限」可能是人類發展出來的概念當中,最令人著迷又令人難以理解的,然而它總像是幽靈不斷地纏繞人們思維的各個領域,一方面它的神秘啟發了人們的心智,可是另一方面它的弔詭性也像是吞噬思維的黑洞。

  西元前五世紀的芝諾(Zeno)是第一個深入探討無限概念的古希臘哲學家,他提出了四組論證,前兩組論證所歸謬的是「時空無限可分」的假設,而後兩組論證所歸謬的是「時空有最小不可分割單位」的假設(這本書忽略了芝諾的後兩組論證),這四組論證形成了「時空無限可分」與「
時空有最小不可分割單位」
兩個相互矛盾的命題,在總體上我們合稱為芝諾悖論(需要澄清的是這四組的任何一組論證均不構成嚴格的悖論)。前兩組論證的「阿奇理斯( Achilles )與陸龜」與「二分法」, 就是這本書第一章〈充滿矛盾本質的無限〉的主題,而《無限探索無限》的英文書名《Achilles in the Quantum Universe》, 也是以阿奇理斯來命名的 。芝諾宣稱運動是不可能的,因為人們永遠無法完成運動中所需要的無限動作,以致於阿奇理斯追不上陸龜。以常理來看這是一個非常荒謬的結論,可是當代英國大哲學家羅素(Bertrand Arthur William Russell,1872-1970)卻說:芝諾的論證是「不可思議的深刻與精巧」,芝諾深刻地質疑了時間與空間可以被無限分割的觀念(他在後兩組論證同時質疑了時間與空間有最小單位的觀念),他不只挑戰著運動的意義,也挑戰了微積分的基礎問題,即「無限小」與「極限」概念如何可能?這後來是第四章〈無限小〉的討論主題。

  在第二章〈無限的時間〉,作者談到古希臘哲學的各種時間觀:循環的時間與線性的時間、有限的時間與無限的時間。另一方面,當我們思索時間的本質,就會觸碰到時間有沒有起始?時間的起始意味著萬事萬物的起源,這又牽涉到我們能不能追溯到推動事物的最初原因?這表現為哲學論戰中的「無窮後退論證」問題。時間與空間是一體兩面的概念,當我們糾纏在時間問題裡,自然也會問:宇宙是有限還是無限的?有一個古老的論證是這樣:假設有一個人站在宇宙的邊緣,並且張開雙臂,會發生什麼事情?如果他再站出去一些,張開雙臂,再不斷地站出去一些,是不是就證明了宇宙的無限(這是潛無限的概念)?在第三章〈無限的宇宙世界〉
,延續這個話題, 作者談到了近代天文學的發展,牛頓( Isaac Newton,1643-1727 )主張宇宙是無限的, 可是如果宇宙是無限的話,那麼宇宙必定有無限多個恆星,這些無限多個恆星總合起來的亮度,為什麼不能讓天空看起來一片光明?這些麻煩的問題,延燒到第九章〈宇宙是有限或無限
〉所談到的當代宇宙學發展。

  十六世紀末,伽利略(Galileo Galilei,1564-1642)的運動學開始,如何定義速度便困擾著物理學家與數學家,尤其是瞬間速度的觀念,因為計算瞬間速度需要與無限小的時間打交道,雖然牛頓與萊布尼玆(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)所提出的微積分,在應用上獲得了空前的成功,可是「無限小」究竟是什麼,連牛頓也說不清楚。在整個十八世紀之中,科學家與數學家窮盡心力試圖替微積分找出合乎邏輯的立論基礎,直到近一個世紀半之後的極限理論與實數完備性理論建構出來,才彌補了微積分基礎的缺陷,也解決了古希臘時期的芝諾悖論,連同牛頓力學的發展
,這個成果是人們真正開始面對無限的概念,並且對於運動的意義與其時空的關係有了更踏實的理解。這是第四章〈無限小〉的內容,接下來我們要進入第五章〈原子的災難〉所開始的近代物理。

  在十九世紀後十幾年的一連串物理革命性事件,例如X光與電子的發現,標示著近代物理的誕生。接著在一九一一年,原子核的發現是實驗物理的重大突破,但是這卻引起了理論物理的大災難,因為按照舊理論,電子環繞原子核根本是不穩定的,電子會塌落到原子核使得原子急速崩潰,同時放出無限大的能量,這樣不只是原子不存在,就連物理學家也會不存在,可是事實並非如此,大家都還在安然地看這篇導讀,所以舊的原子模型理論需要受到大幅度的修正。同時期的黑體輻射問題,也涉及到所謂的輻射能量無限大的紫外線災難。在物理學上,如果一個理論會弄出無限大
,通常意味著在理論或是計算上犯了錯誤,或者是該理論超出其應用範圍
,同時這也逼迫著新理論的出現,而新理論的做法是必須要消除無限大的問題,因為所有的物理公式都只能處理「有限」的數值。於一九OO年普朗克(Max Planck,1858-1947)的量子論、 一九O五年愛因斯坦(Albert Einstein,1879-1955)的光量子說 、 一九一三年玻爾( Niels Henrik David Bohr,1885-1962 )關於氫原子的量子理論, 以及到一九二五年以後,海森堡( Werner Karl Heisenberg,1901-1976 )與薛丁格( Erwin Schrodinger
,1887-1961 )
更精緻的量子力學被發展出來了, 這一連串的物理革命雖然解決掉舊問題,可是他們卻要面對新問題。第六章〈電子質量無限大〉討論了這些新問題。

  量子力學的後來幾十年間,物理學家試圖結合量子場論與狹義相對論以解釋與預測更多的量子現象,這個過程中發現了正子、中子與更多的基本粒子,同時發展出解釋光子、電子的互動行為與各種虛粒子的量子電動力學(QED理論)。當時的物理學家試圖根據各式各樣的理論,來計算出電子的尺寸,然而他們都失敗了,最後不得不假設電子應當被視為不佔空間的質點,也就是說,電子被假設是體積無限小的。無限小與無限大是一體兩面的概念,QED理論將電子視為一個數學上的點,由於電子本身所有的組成電荷都集中在這一點上,這使得這個點所攜帶的電荷密度與質量將達到無限大,根據質能互換,這會使得電子的能量也變得無限大,這樣包含無限小與無限大的怪異理論之所以當時能夠被物理學家們接受,是因為如果把電子視為具備有限體積的粒子,結果會更糟。後來,物理學家為了改進QED理論與提高結果的精確性,並且擺脫基本粒子質量或能量「無限大」的夢魘 ,他們發展出了「重整化」( renormalization )的數學技巧,簡單講就是將那些討厭的「無限大」兩兩消掉,於是剩下來的只是有限的數值。重整化理論牽涉到相當複雜的數學技巧,光是為了去除QED理論當中的所有「無限大」,就困擾了一整個世代的物理學家,對於物理學家來講,「重整化」是那時候一條痛苦而不得不做的選擇。

(接下文)
2003/07/26