#CCFFCC 略談無限概念中整體與部分的對應 ※ 引述《akirattt.bbs@yikun.nstdc.nthu.edu.tw》之銘言:
> ※ 引述《Baudeleir@bbs.ee.ntu.edu.》之銘言:
> > 為何哲學版最近的任何文章最後都會演變成討論佛法和業報?
> 什麼是哲學呢,什麼又是佛教哲學呢
> 給清楚操作型定義,那也許可以來研究這個問題
> 不然,每個人對哲學的想法不同,如此討論,豈不雞同鴨講
> 再者,如果單以字面上來看,佛教哲學屬於哲學的子集合
> 子集合無法涵蓋母集合,在母集合的元素有限的情況下是成立的
> 這也是一般人的概念,但如果是無限的話,那就不一定
> 舉例來說,任意一段有限的線段,如0到1與一條無限長的數線
> 是可以一一對應的,結果子集合竟然與母集合一樣「多」甚是更多
> 這是無限的奧妙
> (引述自站上大善知識者之言)


作者:吳文成

  嗯,akiratt 試圖引用康托(Georg Ferdinand Philip Cantor,1845-1918)的超限數理論,以及擴展到無限集合的集合論來說明:佛教哲學不僅是整個哲學的子集合,而且佛教哲學的精妙還與整個哲學「等量與等值齊觀」
。這並不是一個恰當的結論,可是卻給了我一個機會來進一步地談談,無限概念中整體與部分的對應問題。

  康托的集合論是對於無限集合的定量研究,並且將數學領域中潛無限與實無限的爭議更加檯面化,康托認為無限集合是一個可比較的、現實的
、完成的、存在著的整體對象,這就是實無限的觀念。以後有機會我再來詳細地談潛無限與實無限的問題。無限集合的定量研究,指的就是康托在一八七四年提出的超限基數的概念,所謂基數是指一個集合中元素的個數
,例如集合S={5,8,9},顯然地,S的基數是3,但是有個問題是無限集合的基數怎麼算呢?例如自然數集合是一個無限集合,如果我們將自然數集合視為一個正在進行而永遠不會完成的集合(潛無限的觀念)
,那麼對於這樣的無限集合,我們根本得不出一個確切的基數。但是康托卻肯定實無限的觀念,他將自然數集合的基數視為一個已經完成而「可數的」無窮數,也就是最小的超限數 , 康托稱之為 「[[img src=science/symbol/aleph0.gif height=11 width=16]]」( Aleph-Zero or Aleph-Nought)。 我們要進一步問的是:作為自然數集合之子集合的偶數集合的基數是多少?為了推演這個問題,康托提出了一一對應原則:若兩個集合的元素之間能夠建立一一對應,這兩個元素則具有相同的基數。一一對應的概念對於有限集合是很容易理解的,但是對於無限集合就會產生一些奇特的現象,例如將自然數集合與偶數集合的各元素依序對應起來:

    {1,2,3,4,……,n………}
     ↓ ↓ ↓ ↓    ↓
    {2,4,6,8,……,2n……}

  根據一一對應原則,我們竟然得出一個有趣的結論:自然數集合與偶數集合有相同的基數,[[img src=science/symbol/aleph0.gif height=11 width=16]]!也就是說,自然數集合與作為其一部份的偶數集合的元素數目是相等的。更有趣的是,如果我們把自然數集合(雖然我沿用康托的用法,自然數集合不包括零,可是當代數學界的慣例是自然數係指非負整數,即零與正整數)移掉幾個項目,例如移掉1、2、3,這個「殘缺的」自然數集合,居然還是與「完整的」自然數集合是一一對應的,它同時也與偶數集合是一一對應的關係。也就是說,不管是殘缺的還是完整的自然數集合,不管是偶數集合、還是奇數集合──它們的基數全部都是 [[img src=science/symbol/aleph0.gif height=11 width=16]] —— 即使你移掉它們其中的組成份子 ,它們的基數大小仍然相同。這就是無限集合的不可思議之處。

    {1,2,3,4,……,n………}    完整的自然數集合
     ↓ ↓ ↓ ↓    ↓
    {4,5,6,7,……,n+3………}    殘缺的自然數集合
     ↓ ↓ ↓ ↓    ↓
    {2,4,6,8,……,2n……}    偶數集合

  我們繼續討論,包含自然數集合的有理數集合的基數又是多少呢?康托證明了有理數集合與自然數集合也具有相同的基數,[[img src=science/symbol/aleph0.gif height=11 width=16]]。這些關係似乎違反了人們關於「整體總是大於部分」的直覺觀念,康托說對於無限集合而言,整體是可以等於部分的,無限集合的一個顯著特點就是,無限集合自身可以與其部分具有一一對應關係。雖然說是違反直覺觀念,可是我們可以[[img src=science/Galileo.gif height=199 width=185 align=left]]舉一個幾何的例子來說明這個結論似乎也挺直觀的。偉大的物理學家與天文學家伽利略,在十七世紀初指出:一線段AB上的點可以與它的一部份A' B' 上的點建立起一一對應,而這些線段上的點是無限多個。把AB的一部份A' B' 移到如圖的位置,作 AA' 與 BB' 的連線相交於P, 而後如C' 對C,D' 對D的配對模式 , 我們便可以建立起兩條有限線段之間無限多個點的一一對應。這個例子等於是說任何兩線段上的點個數都是相同的,而線段上的點集合其實便是某兩數之間的實數集合,康托進一步證明了任兩數之間的實數集合對應到整個實數集合的基數都是相同。這也就是 akiratt 所指出的「任意有限線段,如0到1與一條無限長的數線是可以一一對應的」。

  更令人驚訝的是,在正方形、立方體甚至是多維方體中的點集合的基數,等於任何線段上的點個數。康托說他簡直不敢相信自己所作出的證明
,在三維空間無限伸展的浩瀚的宇宙並不比一根頭髮有更多的點!康托同時證明出(實)無限是具有層次的,即超限基數是可以比較大小,例如
注意,實數集合是「不可數的」無限集合,而自然數集合是「可數的」無限集合)
實數集合的基數 ,我們記為 C( 或者是連續統無限,Continuum Infinity)便大於自然數集合的基數 [[img src=science/symbol/aleph0.gif height=11 width=16]],基於康托定理 , C 與 [[img src=science/symbol/aleph0.gif height=11 width=16]] 的關係是 C=2[[img src=science/symbol/aleph0.gif height=11 width=16]]( 2 的 [[img src=science/symbol/aleph0.gif height=11 width=16]] 次方,由於實數集合正是自然數集合的冪集)。 康托接著問有沒有介於 C 與 [[img src=science/symbol/aleph0.gif height=11 width=16]] 之間的超限基數呢( 我們標記 [[img src=science/symbol/aleph1.gif height=11 width=16]] 為 [[img src=science/symbol/aleph0.gif height=11 width=16]] 的下一個超限基數,於是康托的問題可以這樣問 :C 是否就是 [[img src=science/symbol/aleph1.gif height=11 width=16]] )? 康托假設沒有介於 C 與 [[img src=science/symbol/aleph0.gif height=11 width=16]] 之間的基數(即 C=[[img src=science/symbol/aleph1.gif height=11 width=16]] ), 這便是著名的「連續統假設」
。從康托的超限數理論與集合論,還可以延伸出很多重要而極富爭議的論題,這裡面也隱含著關鍵的集合論悖論,在這裡就先略去不談。

  回到我在第一段說 ,akiratt 試圖引用康托的理論而說明:佛教哲學不僅是整個哲學的子集合,而且佛教哲學的精妙還與整個哲學「等量與等值齊觀」——我認為這不是一個恰當的結論。因為康托的理論只是指出某個數域層次上整體與部分在數量上的一一對應,可是例如自然數作為實數的子集合,實數域與自然數域就沒有相同的基數;又例如任一集合的冪集也無法與該集合作元素的一一對應(康托定理:任一集合的冪集的基數大於該集合的基數)。而這裡的一一對應指的也只是元素個數的對應,用來比擬佛教哲學與哲學的對應關係,這會是見仁見智;佛教哲學某人嘉言錦句的數量,與哲學某人的說話數量就算可以有「數」的對應,例如你說無限句,我也可以說無限句,但是我們別忘了數學領域以外的對應概念也包括「質」的對應,硬要討論的話,佛教哲學與哲學在「質」方面的對應,那就更是眾說紛紜了。
2003/03/24