#FFFFFF 形式化研究的侷限    形式化( formalization)是將一套特製的人工語言應用於某個對象理論的演繹體系,以使其嚴格化、精確化的程序,也是當代數理邏輯最重要的方法,這種方法的理念可以回溯到歐幾里德的幾何原理,而十九世紀末的德國數學家 Frege( Gottlob Frege, 1848-1925 )是第一個提出形式化數學證明的邏輯學家,他也是當代分析哲學之父,而二十世紀二O、三O年代在 Hilbert( David Hilbert,1862-1943)與塔斯基( Alfred Tarski,1902-1983 )的提倡之後 , 形式化的演繹規律與性質便成了後設數學的研究領域。形式化是嚴格符號化與公理化相組合的產物(也就是說,它必須滿足於比理論結構的公理化更為嚴格的要求),讓我們只憑藉著無歧義而明確給出的符號字形,與結構化的語法規則來構造形式系統,然後對此系統進行推演與解釋。

  具體地說,形式化是把對象理論中的概念轉換為人工語言(形式語言
)中的符號,包括將對象理論的命題轉換為符號公式,定理的推演轉換成符號公式的變形,並把一個證明轉換成符號公式的有窮系列,從而把對象理論之中概念、命題、推理的研究,轉化為符號表達式所組成的形式系統的研究。形式化把所有符號完全看作是沒有意義與內容的,這些符號只有「唯一的讀法」(也就是說,它們是以唯一的一組規則方法產生的),同時把精確性、嚴格性、可演繹性與普遍性等等要求帶入理論研究之中,促使理論研究走向深化。但是形式化本身也具有其侷限性。在這裡,筆者在整理若干學者的看法之後,將從三個方面來探討形式化研究的侷限:

  第一,形式化研究適用範圍的狹窄性。

  從兩個方面來說明:(1)並非一切理論都能夠被形式化,只有那些發展得比較成熟、圍繞著特定主題、在邏輯上層層展開而邏輯關係比較清晰的理論才可能形式化;而那些發展得很不成熟、邏輯關係十分混亂的理論其首要任務就不是形式化,而是要先讓理論本身成熟。(2)並非一個理論的一切方面都能被形式化。形式化只能在下述三點上起作用:(a)更嚴格、更精確地限定概念、命題的涵義;(b)更清晰地展示概念、命題之間的邏輯關係;(c)盡可能多地展開它們的邏輯推論,以求揭示概念、命題的潛在邏輯涵義。除此之外,形式化對其他方面是無能為力的。例如,以哲學理論為例,形式化並不過問:究竟是物質第一性,還是精神第一性?但是形式化研究處理這樣的問題:如果物質是第一性的,我們能夠由此推論出什麼?這一系列推論是否有邏輯矛盾?所以,形式化研究的適用範圍是比較狹窄的。

  第二,形式化研究的嘗試性。

  形式化方法所得到的形式理論,只是一種暫時性與嘗試性的理論。形式化確實使理論本身增加了嚴格性與精確性,但是精確性並不能保證其正確性,而是使我們易於發現錯誤並且改正它;形式理論的嘗試性有兩個來源:(1)在關於對象理論的非形式陳述中,其相關性、一致性與清晰性方面,總可能存在著某種程度的鬆散,甚至其基本命題、基本觀點本身就是錯誤的,而對象理論的這種鬆散性與可能的錯誤,必然造成其形式化理論是暫時而嘗試的,甚至常常造成該理論的形式化是無法成功的。(2)在構造形式系統時,其形式語言與演繹程序的設計與選擇上存在著問題。例如,形式系統所選擇的的初始概念與公理,可能不是對象理論中最基本的概念或命題,或者形式系統的推理規則選擇不當,造成其中有些規則的推演能力太弱。這可能會造成下述問題:對象理論中的許多概念與命題,在相應的形式理論中並未被派生或推演出來;形式化理論的概念、命題嚴重偏離對象理論,以致於前者與後者不相干,使得不能把前者看成是後者的適當形式化;在形式化理論中出現了對象理論中不存在的悖論性結果,如此等等。因此,形式化理論也是一種嘗試性理論,其中的命題與定理是可錯的,其結果便是對象理論的形式化研究的成功與否。

  第三,形式化研究的有限性。

  在二十世紀對於數學邏輯體系的重大衝擊,莫過於以下將要提到的幾個發現,這些發現同時也衝擊與改變了計算機科學、認知科學與當代哲學的不同領域,這些影響在往後的論述,筆者還會再提到。這些發現來自三個方面,對於足夠複雜的形式系統S而言:

  (1)如果S是邏輯上無矛盾的,則S必然是不完備的,也就是說,並非所有的真命題都在S之中可證。這即是哥德爾的不完備定理。哥德爾( Kurt Godel,1906-1978)於一九三O年證明:(a)一個形式系統S如果包含形式算術系統作為子系統,它就是不完備的,即存在著一個命題A
,A與非A在S中都不可證,這被稱為第一不完備定理。(b)如果這樣一個系統是一致的,那麼其一致性在系統內是不可證,這被稱為第二不完備定理。上面提到的形式算術系統是指自然數算術理論的形式化,它是由一階邏輯系統再加上表示自然數算術所必要的初始符號、公理、規則之後所得到的形式系統。最近有人證明,在模態邏輯中,存在著無窮多個不完備的正規模態系統。

  (2)必然是不可判定的,即不存在可以用來判定其中任一命題是否可證的算法。這即是丘奇-涂林( Church-Turing)的不可判定定理。丘奇(Alonzo Church,1903-1995)於一九三六年證明了 : 如果形式算術系統是一致的,那麼,它就是不可判定的,即沒有一個機械的程序去判定任一合式公式是否可證。既然形式算術系統是不可判定的,那麼任何包含形式算術系統作為子系統的形式系統也是不可判定的。另外丘奇還證明:一階邏輯也是不可判定的,也就是說,原則上,沒有一個演算程序可以決定一個有限前提的一階論證是有效還是無效的。涂林( Alan Mathison Turing
,1912-1954)
於一九三七年也證明了這一結果。

  (3)它的真概念在本系統中是不可定義的。這即是塔斯基的真概念不可定義性定理。塔斯基於一九三三年,在對於形式語言的表達能力的研究中證明,像形式算術系統這樣豐富的系統中,我們不能定義這一系統內命題的真假等語義學概念。既然在形式算術系統都不能定義該系統的真概念,任何包含形式算術系統作為子系統的形式系統,更是無法在其自身中定義該系統的真命題。從另一方面來說,對於一個足夠複雜的形式系統,其真概念的定義與判定無法只來源於這個系統本身。

  這三大定理以嚴格的數學證明,充分揭示了由形式化方法得到的形式系統的侷限性,因此被稱為侷限性定理;同時也被喻為現代邏輯學的三大成果,其中哥德爾的不完備定理被認為是最重要的一項,而不完備定理的證明還與兩千多年來,許多人為之傾其畢生心血的悖論問題有著密切的關係(說謊者悖論對於哥德爾的證明有著關鍵性的啟發)。另外值得注意的是,這三個侷限性定理相互有著內在性的聯繫。

部分資料整理