對於集合論悖論的不同解決方案
2003, 5, 31 吳文成
  我預計要對悖論問題作一系列的討論,討論的順序大概是這樣:之前談了羅素悖論(集合論悖論)如何被表述為邏輯悖論(語形悖論,以性質悖論為代表)與語義悖論,而這篇文章要談的是,二十世紀初數學領域對於集合論悖論的不同解決方案,然後在另外的兩篇文章中,再來談談哲學家們如何解決語義悖論,在這些解決方案都不能令人滿意的情況下,我們來談不同類型的悖論的共同特徵與根源,這自然也就是在談論理性自身的性質了,在人們遭遇悖論的過程當中,也揭示了理性認識的困境。 這一系列的討論將是工程浩大的研究。

  先前〈從羅素悖論看集合論悖論、邏輯悖論與語義悖論〉一文中記述了康托悖論與羅素悖論,我們可以藉著剖析這兩個集合論悖論,來看看數學家如何開展他們各自不同的悖論解決方案。康托悖論的基本概念是這樣,令Q是所有集合的集合(我們稱作大全集),令P是Q的羃集(P是由Q的所有子集合所組成的集合),根據羃集的定義,得知任一集合屬於該集合的羃集,可以推出Q屬於P;根據大全集的定義,得知任一集合都屬於大全集,可以推出P屬於Q。這兩個相互矛盾的命題從而構成了悖論。顯而易見地,康托悖論的根據有兩個:一是存在有大全集,即存在著這樣的集合,它以所有的集合為元素。二是任何的集合都有羃集,這一點也就是說,任一集合都可以擴充到一個以自身的所有子集為元素的
更大的集合
。放棄掉這兩點根據的任何一點,均可以使得康托悖論不再成立。

  我們再來看看羅素悖論,令S(我們稱作羅素集)是所有不以自身為元素的集合所構成的一個集合。具有某一性質的對象所構成的集合沒有該性質,我們便說這樣的集合是不以自身為元素的集合,例如「湯匙的集合」本身不是湯匙,「
兔子的集合」本身也不是兔子,所有這樣的集合便構成了S;但是像這個集合「
不是湯匙的集合」本身就不是湯匙,它便不屬於S,或是像「概念的集合」本身也是概念,它同樣不屬於S,所有不屬於S的集合顯然是那些以自身為元素的集合。根據集合的概念,對於任一集合而言,考慮「集合作為元素屬於自身」是有意義的命題,考慮的結果配合排中律的說法是:任一集合要麼屬於自身,要麼不屬於自身。羅素悖論是這樣形成的:如果S屬於S,那麼S屬於那些不以自身為元素的集合,即S具有不以自身為元素的性質,便推出S不屬於S;又如果S不屬於S,那麼S反而屬於那些以自身為元素的集合,即S具有以自身為元素的性質,便推出S屬於S。這兩個相互矛盾的命題從而構成了悖論。

  我需要澄清一下,在集合論中「屬於()」與「包含於()」是不同的觀念。屬於關係的應用在於考慮,某個元素(或某個集合作為元素)是否是構成某一特定集合的元素之一,或者說,某個元素(或某個集合作為元素)的性質是否是構成某一特定集合所要求的性質,如果是,那麼我們說該元素屬於那一特定集合,它表示為某個對象與某一類具有特定共同性質的對象們的從屬關係。而包含關係是這樣,對於兩個集合A與B,如果集合A中的任一元素都是集合B的元素,我們就說集合A包含於集合B,或說集合B包含集合A,也說集合A是集合B的子集。按照這些定義,任一集合必定是自身包含於自身,但是考慮該集合作為一個個體(元素)所具有的性質卻不一定符合構成該集合所要求的性質。

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