數學美學的內涵
2002, 12, 18 吳文成
和諧、簡單與奇異美
  筆者曾經在〈科學理論的先驗評價〉一文中提及,美感是理論模型的選擇或判定的標準之一,美感的產生其實在於理論本質對於科學家的信仰體系與自然觀感的符合,其符合的條件與程度是因人而異的。對於科學家而言,理論模型的美感大多是來自於數學美,而數學美感較之理論中其他的美感要素,具有相對客觀的性質。在本文中,筆者將進一步討論數學美學的內涵。

  英國數學家羅素(Russell,1872-1970)在《我的哲學的發展》一書中曾說:
「數學,……不但擁有真理,而且也具有至高的美。正像雕刻的美,是一種冷而嚴肅的美。這種美不是投合於我們天性微弱的那方面,這種美沒有繪畫或音樂那種華麗的裝飾,它可以純淨到崇高的地步,能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術,才能顯示出那種圓滿的境地。……一種真實喜悅的精神,一種精神上的發揚,一種覺得高於人的意識,這是至善的標準,這些能夠在詩裡面得到,也確實能夠在數學裡得到。」

  數學美最早體現於古希臘數學家創建純粹數學的奠基工作之中,古代數學家有不少人同時也是著名的美學家 ,美國數學家 M. Kline 在《古今數學思想》一書中談到:「他們並不忽視數學在美學上的意義,這個學科在希臘時代被人珍視為一門藝術;他們在其中認識到美、和諧、簡單、明確以及秩序。算術、幾何與天文被人看做是心智的藝術與靈魂的音樂。柏拉圖喜愛幾何;亞里斯多德不願意把數學與美學分開,因為他認為秩序與對稱是美的重要因素,而這兩者也能在數學裡找到。……無疑是由於這門學科在美學上的吸引力,才使得希臘數學家把有些項目探索到超出為理解自然所必須的程度。」

  為了進一步討論數學美 , 英國數學家 G. H. Hardy 在希臘數學中找到兩個例子:證明存在無限多個質數、證明 √2 是一個無理數。這兩個例子在方法上與演算上都很簡單,符合於數學理論的美學標準。當從這些漂亮的定理中,辨別純美學的特性時,他曾說過:「我斗膽提出:有一種高度的意外性、必然性與有機性
,其結果影響深遠,相比之下,論證形式都是那麼奇特,使人意想不到,而所用的工具卻又簡單得稚氣十足;但是結論沒有任何遺漏。沒有錯綜複雜的頭緒,每種情況有一條線索就夠了;很多困難得多的定理證明也是如此。」我們可以從他的見解中找到數學美學標準的蛛絲馬跡,他在這裡所說的「必然性與有機性」,即是指數學的和諧美;這裡所說的「簡單得稚氣十足」與「沒有錯綜複雜的頭緒
」,即是指數學的簡單美;這裡所說的「意外性」與「奇特」,即是指數學的奇異美。綜合一些知名數學家的論述,可見和諧美、簡單美與奇異美乃是數學美學的三個基本要素。

  在數學的和諧美方面。其和諧性的主要表現形式是統一、有序、無矛盾以及對稱等等,在美學中所說的整體美、平衡美、對稱美以及中和美,其實都是一種和諧美。在數學發展史上的三次危機,都是由無限問題或相關的悖論所引發的,想要達到數學體系的和諧,都必須先證明數學理論的無矛盾性,即必須先消除悖論:畢達哥拉斯悖論中無理數的發現,爆發了第一次數學危機;貝克萊悖論所涉及的微積分基礎問題,爆發了第二次數學危機;羅素悖論更是動搖了集合論的根本,第三次數學危機可以說是前兩次危機的繼續與深化。但是每一次的危機,都促使數學體系更加枝茂繁盛,危機的探究與解決都將賦予了數學以勃勃生機。尤其第三次數學危機直接促進了公理化方法與數學基礎研究的深入發展。在下一篇文章中,筆者要繼續談公理化方法對於數學美學的意義。

  在數學的簡單美方面。數學的簡單美,按其內涵有些類似一般藝術欣賞中的所說的淺易美。愛因斯坦曾經提出:一切科學的偉大目標是要從盡可能少的假設或公理出發,通過邏輯的演繹,概括盡可能多的經驗事實。所謂簡單美就是作為理論體系的邏輯出發點,必須是簡單明瞭的,並且是越簡單越美。數學美的簡單性的另一個重要表現,是數學家在研究工作中還必須挑選適當的符號,這樣不僅可以忠實地描繪數量關係的本質,而且能夠最大限度地減少人們的思維勞動。綜合數學美的和諧性與簡單性,即是數學公理系統中所要求的相容性(無矛盾性)與獨立性。

  在數學的奇異美方面。數學奇異性的特徵,正好迎合了人們在藝術欣賞與科學探索中,求新、求奇、求異的心理意向。奇異有時也近乎荒誕,令人意想不到
,因而奇異性與通常藝術欣賞中所說的荒誕美、滑稽美有些類似。因為奇異之處容易使人產生崇高感,在數學中對於新奇的領域與新奇的問題,也可以使數學家產生一種神秘莫測的美感。培根說:「沒有奇特的奇異性,也就不存在與眾不同的美。」數學這棵大樹的枝椏總是向著新而奇的方向蔓延著,二十世紀六O年代以來,數學界的新成果與新思想就競相湧現著,例如是非標準分析、突變理論與模糊數學的出現,例如電子計算機所帶動的數學新革命,都給予了數學不同風味的美感。

  構成數學美的三個要素,既相互區別,又相互制約,有時可以發揮整體的價值與功能。然而這三要素中,和諧性是美學評價的基礎,因為和諧性主要是指數學理論的無矛盾性。對於一個具有和諧性的數學理論來說,越簡單,越新奇,便越能夠顯示其數學美的魅力,因而,價值也越高,功能也越大。


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