#c6c6c6 談碎形與藝術:絕美 Mandelbrot Set

  傳統幾何學是缺少生氣也枯燥乏味的,它只能描述整齊而規則的物件
,卻無法描述許多自然界的形狀,像是山脈、樹木、雲朵、河川、海岸線等。 數學家曼德布洛特( Benoit Mandelbrot )在七O年代提出「碎形」幾何學之後,人們發現到「碎形」可以用來描述各式各樣的物體,從蜿蜒的小溪到股價的變動,從人腦的結構到星系的分布。碎形都可以包辦。



  碎形,讓科學家、藝術家可以用簡單的電腦程式,模擬出大自然的複雜形態。如上圖所示,繪製碎形的方法主要有三種 。第一種 L-Systems 是用線段關係,繁衍出如同樹木般生長的樣子(例如 Logo 語言繪圖)。 第二種 Random IFS 是透過疊代函數,用隨機畫點的方式把結果繪製出 。 第三種 Formula IFS 是這篇文章的重點 , 利用規範方程式可以畫出數學裡最美麗、最豐富的圖案。這裡不談麻煩的數學,我要透過兩套線上程式,直接帶大家去賞析那個內部——星羅棋布、變化萬千的碎形虛擬世界。

  Java Applet 可以直接在網頁上執行,也方便與使用者互動。 試試看,用滑鼠按按下面的 Java Applet ,就像攝影機的鏡頭變換焦距一樣,你會進入碎形虛擬世界的深處。然後按其他地方,另一場奇異、截然不同的探險緊接著展開,彷彿是一層層不同形狀的階梯,正迎接你走入。在色彩的襯托下,有的像童話故事裡美人魚棲息的海岸線,有的像海馬長長的尾巴,螺旋捲曲。它們看似雜亂,卻又井然有序,看似分散,卻又細節完整。


Standard Mandelbrot Set Z2

  用滑鼠按畫面可以 Zoom In,如果同時按下 Ctrl,則可以 Zoom Out。 由於新影像的繪製與解析需要大量的數學運算,所以在滑鼠點按之後,你可能需要等待1到6秒來更新影像,越是往內部探索,所需的等待時間便越久。但是與同類的程式比較,這套線上程式算是效能不錯的,我也盡量讓色彩的配置豐富些,以後打算增加更多互動的功能到這程式上。這個碎形虛擬世界,宛如一個微型宇宙,它以它的發現者來命名,我們稱作「曼德布洛特集」(Mandelbrot Set)。以下這個程式,是它的另一個變形。


Mandelbrot Set Z2: | Re2/Im | < bailout

  曼德布洛特集是碎形(Fractal Theory)、混沌(Chaos Theory)的國際性標誌,它與它的「家族」頻繁地出現在國際會議的文集上與工程刊物的華麗封面上,它也是數位藝術的巡迴展覽的主要對象。曼德布洛特集是「
公認」最美麗、最複雜的數學對象,即使我們用全部的時間也無法探索完它的全貌。數學家、藝術家們很容易就被曼德布洛特集給迷上,它富有多重的變化與玩法。規範方程式的稍稍修改,加上不同的配色,就可能產生意想不到的美妙影像。它是一個讓人流連忘返的虛擬世界。

  曼德布洛特集,被人稱為「魔鬼的畫廊」,在我看來,它也是上帝的百寶箱。它與同時代所出現的立體派藝術家的繪畫作品一樣,讓人耳目一新,讓人驚呼連連。隨著近十幾年在電腦運算速度的提升,像曼德布洛特集這類的碎形藝術,以更絢爛的圖形豐富了我們的視覺美感經驗,擴展了數位藝術更多創作的可能性,以及觀者不同角度的觸發。

  這裡我不談數學,另一篇文章我再來介紹「曼德布洛特集」是如何結合電腦語言與數學方程式而生成的。站在賞析的角度,曼德布洛特集,跟我以前提到的典型碎形一樣,它具有無窮的細膩度,而且在不同尺度下
Zoom In/Zoom Out )
, 它呈現出的那些結構具有相似性,我們往往會在意料之外發現,類似的結構被嵌套在圖形的另一處,但是卻又有點差別。曼德布洛特集,最不可思議的地方在於:不斷複製自己卻不重複自己的圖案。不斷創生的型態,彷彿有無限的生命力一般,其中簡單與複雜、秩序與紊亂,緊密地連結在一起——這不就是大自然同樣呈現出的樣貌!

  最後附上標準版的「曼德布洛特集」線上程式:


Mandelbrot Set : Z→Z2+C

2007/02/14